\chapter{二体问题的历史演进与理论重构：\\从牛顿之前的几何学出发}
\author{李国斌}
\date{2025.08.24 16:39}

\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\newtheorem{proposition}[theorem]{命题}
\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\newtheorem{example}[theorem]{例}
\newtheorem{remark}[theorem]{注}
	
	\begin{abstract}
		本文通过一个思想实验，探讨了在牛顿力学体系建立之前，如何仅从开普勒的行星运动三定律和匀速圆周运动这一特例出发，通过几何与运动学的分析，重新发现和构建动力学的基本原理。文章首先回顾了二体问题的基本框架和坐标系描述，然后详细阐述了从运动学加速度推导到万有引力定律建立的逻辑过程，最后展示了如何自然引出约化质量的概念，从而完整解决二体问题。这一重构过程体现了理论物理学从现象到本质的深刻洞察力。
		
		\textbf{关键词}：二体问题；开普勒定律；万有引力；约化质量；牛顿力学；历史重构
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	\subsection{研究背景与意义}
	
	二体问题是天体力学中最基本且最重要的问题之一，它研究两个质点仅在相互引力作用下的运动规律。该问题的完全解决为理解行星运动、人造卫星轨道、双星系统等提供了理论基础。历史上，牛顿在其《自然哲学的数学原理》中通过对二体问题的研究，建立了万有引力定律和牛顿运动定律，统一了天上和地上的力学。
	
	\subsection{研究思路与方法}
	
	本文采用历史重构的方法，假设我们处于牛顿之前的时代，只有开普勒通过第谷的观测数据归纳出的三个经验定律：
	\begin{enumerate}
		\item 轨道定律：所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
		\item 面积定律：连接行星和太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
		\item 周期定律：行星绕太阳公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比。
	\end{enumerate}
	
	我们将从这些几何和运动学的描述出发，结合匀速圆周运动这一特例，重新发现隐藏在其背后的动力学原理。
	
	\section{理论基础与坐标系描述}
	
	\subsection{坐标系系统}
	
	为了准确描述天体的运动，需要建立合适的坐标系系统。常用的三维坐标系包括：
	\begin{itemize}
		\item 笛卡尔坐标系 $(x, y, z)$
		\item 球坐标系 $(r, \theta, \phi)$
		\item 柱坐标系 $(\rho, \phi, z)$
	\end{itemize}
	
	为了完整描述运动，还需要引入时间坐标 $t$。通过选择合适的参考平面，二体问题可以被简化为平面运动。在平面中，常用的坐标系有：
	\begin{itemize}
		\item 直角坐标系 $(x, y)$
		\item 极坐标系 $(r, \theta)$
	\end{itemize}
	
	\subsection{相对运动描述}
	
	考虑两个质点，粒子0（质量$m_0$）和粒子1（质量$m_1$）。选择极坐标系，粒子1相对于粒子0的位置矢量为：
	\begin{equation}
		\mathbf{r} = (r \cos\theta, r \sin\theta)
	\end{equation}
	
	其速度 $\mathbf{v}$ 可分解为径向分量 $v_r = \dot{r}$ 和切向分量 $v_\theta = r\dot{\theta}$。
	
	\section{匀速圆周运动：从特例到一般规律}
	
	\subsection{匀速圆周运动的运动学特征}
	
	匀速圆周运动是二体问题中最简单的解，它是椭圆轨道的一个特例（偏心率$e=0$）。在这种运动中，约化粒子绕力心做半径为 $r$ 的匀速圆周运动，满足以下条件：
	\begin{align}
		\dot{r} &= 0 \quad \text{(径向速度为零)} \\
		\dot{\theta} &= \omega = \text{常数} \quad \text{(角速度恒定)} \\
		\ddot{\theta} &= 0 \quad \text{(角加速度为零)}
	\end{align}
	
	其切向速度大小 $v_t = v_{t0}$ 也保持恒定。
	
	\subsection{运动学参数的推导}
	
	角速度 $\omega$ 定义为角度对时间的变化率：
	\begin{equation}
		\label{eq:angular_velocity}
		\omega = \dot{\theta} = \frac{v_{t0}}{r}
	\end{equation}
	
	对恒定的角速度 $\omega$ 进行积分，得到相位角随时间的变化关系：
	\begin{equation}
		\label{eq:phase_angle}
		\theta(t) = \omega t + \theta_0
	\end{equation}
	其中 $\theta_0$ 是 $t=0$ 时的初始相位角。
	
	运动周期 $T$ 是粒子运动一周所需的时间：
	\begin{equation}
		\label{eq:period}
		T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r}{v_{t0}}
	\end{equation}
	
	\subsection{向心加速度的几何推导}
	
	通过对位置矢量 $\mathbf{r} = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ 求二阶导数，可以纯运动学地得到加速度表达式：
	\begin{align}
		\mathbf{v} &= \dot{\mathbf{r}} = (\dot{r}\cos\theta - r\dot{\theta}\sin\theta, \dot{r}\sin\theta + r\dot{\theta}\cos\theta) \\
		\mathbf{a} &= \dot{\mathbf{v}} = \left[ \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \right] (\cos\theta, \sin\theta) + \left[ 2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} \right] (-\sin\theta, \cos\theta)
	\end{align}
	
	对于匀速圆周运动，加速度简化为：
	\begin{equation}
		\mathbf{a} = -r\omega^2 (\cos\theta, \sin\theta) = -\frac{v_t^2}{r} \hat{\mathbf{r}}
	\end{equation}
	
	这一发现表明，加速度的方向始终指向圆心，大小 $a = \frac{v_t^2}{r}$ 为常数。这个纯运动学推导出的向心加速度公式是通往动力学的第一块基石。
	
	\section{从开普勒定律到万有引力定律}
	
	\subsection{开普勒面积定律的深刻含义}
	
	开普勒第二定律指出：单位时间内扫过的面积 $A$ 为常数。在极坐标下，面积速率为：
	\begin{equation}
		\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \text{常数}
	\end{equation}
	
	这意味着 $r^2 \dot{\theta} = h$，其中 $h$ 是一个常数（比角动量）。这暗示着存在一个守恒量，可能与运动的惯性和旋转特性有关。
	
	\subsection{动力学概念的萌生}
	
	观察到不同行星的运动都服从相同的开普勒定律，这表明背后有一个普适的原理。一个合理的猜想是：维持行星运动（产生加速度）的"原因"与行星的质量无关，但该"原因"作用的效果（产生的加速度）与天体的某种内在属性（惯性质量 $m$）成反比。
	
	这引导我们定义力 $\mathbf{F}$ 作为这个"原因"的度量：
	\begin{equation}
		\mathbf{F} = m \mathbf{a}
	\end{equation}
	
	这就是牛顿第二定律的雏形，是为了解释普适的运动学现象而提出的合理假设。
	
	\subsection{万有引力定律的推导}
	
	对于绕太阳 $S$ 运动的行星 $P$，其加速度始终指向太阳。根据 $\mathbf{F} = m_p \mathbf{a}$，可知所受的力也指向太阳，这是一种有心力。
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{力的量级分析}：对于圆周运动，$a = v_t^2 / r$。由开普勒第三定律 $T^2 \propto r^3$ 和 $v_t = 2\pi r / T$，可得 $v_t^2 \propto 1/r$。因此加速度 $a \propto v_t^2 / r \propto 1/r^2$。所以，力的大小 $F \propto m_p / r^2$。
		
		\item \textbf{力的相互性}：牛顿第三定律暗示，如果太阳以力 $\mathbf{F}$ 吸引行星，那么行星也以力 $-\mathbf{F}$ 吸引太阳。因此，这个力应该也与太阳的某种属性 $m_s$ 成正比。
		
		\item \textbf{万有引力定律}：结合上述推论，得到：
		\begin{equation}
			F \propto \frac{m_p m_s}{r^2}
		\end{equation}
		引入普适常数 $G$，得到万有引力定律：
		\begin{equation}
			F = G \frac{m_p m_s}{r^2}
		\end{equation}
	\end{enumerate}
	
	\section{二体问题的完整解决：约化质量概念的自然引出}
	
	一旦建立了万有引力定律和牛顿运动定律，二体问题的解决就变得清晰。两个天体之间的引力是相互的，通过分析它们相对于质心的运动，可以发现系统的运动等价于一个质量为约化质量 $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ 的粒子在固定力心场的运动。
	
	约化质量的概念自然地从二体问题的动力学分析中产生：
	\begin{equation}
		\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
	\end{equation}
	
	这个约化粒子的运动方程解出来正是圆锥曲线，完美地解释了开普勒的所有经验定律，从而完整地解决了二体问题。
	
	\section{结论与展望}
	
	本文通过一个思想实验，展示了如何仅从精确的观测数据（开普勒定律）和简单的几何模型（圆周运动）出发，通过严谨的逻辑推理和必要的猜想，一步步地重新构建出牛顿力学的核心框架。
	
	这一重构过程体现了理论物理学从现象到本质的深刻洞察力，展示了数学和物理学的内在美和逻辑一致性。从运动学（加速度）到动力学（力），再到普适的物理定律（万有引力），这一发展路径不仅具有历史意义，也为理解现代物理学的发展提供了重要启示。
	
	未来的研究可以进一步探讨：
	\begin{enumerate}
		\item 从经典二体问题到相对论二体问题的推广
		\item 摄动理论在多体问题中的应用
		\item 二体问题在现代航天工程中的实际应用
	\end{enumerate}
	
	\section{李国斌评论}
	这个推导已经足够有力。但仍然没有实现从纯粹几何学导出所有引力理论和波动方程的目标。
	
	\section{李国斌评论}
这个推导已经足够有力。该模型证明，引力是自然涌现的，并非受限于任何质量、尺寸、时间、空间、量子。因此，引力必然适合于所有的自然现象。

匀速圆周运动这种最简单的形式，只要受到任何干扰，就会从偏心率e=0大概率发展为e>0的椭圆运动，干扰能量更大时，甚至可能发展为抛物线或双曲线运动，永不回归。

椭圆运动，是一种具有无穷谐波的合成简谐振动和合成波动。在椭圆轨道任何位置以该点曲率的倒数为半径的基准圆，径向振动方程为简谐振动，横向满足一维弦振动(即波动)方程。

按此原理，导出所有级数表示的振动和波动方程。

使用这些方程，解释电磁力与引力比值为什么KQG=2.72e39，而电磁作用比值为什么精细结构常数alpha=1/137.036。解释为什么光速c=3e8m/s和引力常数G的值。

\section{2体动力学方程}
粒子0和1的引力方程，可以导出如下方程：，并得到级数解。

\subsection{简谐振动方程}
粒子0和1由引力造成的弹簧弦等效劲度系数k及质量决定了振动参数。

\subsection{一维弦振动方程}
弦起点在长轴左焦点，弦终点在粒子1。

\subsection{二维膜振动方程}
弦起点在长轴左焦点，弦终点在粒子1。
2个正交弦。
\subsection{三维体振动方程}
弦起点在长轴左焦点，弦终点在粒子1。
3个正交弦。

使用这些引力波动方程，计算电荷及光子的本质以及所有微观粒子的质量和长短轴直径、偏心率。

\section{电子}
按质量引力FG计算电子轨道。

按电荷引力Fem计算电子轨道。

为什么Fem/FG=KQG=2.72e39 ?

\section{$\gamma$光子与电子数比值Nge}

1979年的测量值：$\gamma$光子与电子数比值Nge=1e9

\section{$\gamma$光子}
光子质量Mg：假定为1e-3me/Nge=1e-12me

按质量引力FG计算光子轨道。

假定光子与电子一起绕原子核旋转。

\section{$\gamma$光子绕电子旋转}
可能性很小，主要是旋转频率不对。

按质量引力FG计算光子轨道。
\begin{equation}
	F_{G\lambda}=Nge\frac{Gm_em_\lambda}{r_{e\lambda}^2}
\end{equation}

\section{电磁力比引力大KQG的原因}
是由于电子与原子核之间的引力导致的潮汐力造成的表面张力，引发了表面的变形和振动，被称为电荷。电荷实质是物体表面的光子公转轨道半径增大，这些被拉长轨道的光子类似于被拉长的液滴，这些液滴互相碰撞，表现出巨大的力，被称为电荷力。

一个问题是：光子绕电子旋转，还是绕原子核旋转？只能通过计算逐步排查。

\section{计算球面上光子的张力}

\section{计算球面上电子的张力}

\section{计算球面上氢原子的张力}

\begin{equation}
	KQG=Fem/FG=F_{G\lambda}/FG=Nge\frac{Gm_em_\lambda}{r_{e\lambda}^2}/\frac{Gm_pm_e}{r_{ep}^2}
\end{equation}

	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{1} Newton I. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. 1687.
		\bibitem{2} Kepler J. Astronomia Nova. 1609.
		\bibitem{3} Goldstein H, Poole C, Safko J. Classical Mechanics. 3rd ed. Addison-Wesley, 2002.
		\bibitem{4} 赵凯华，罗蔚茵. 新概念物理教程：力学. 高等教育出版社，2004.
	\end{thebibliography}
	
	\chapter{title}
	\section{从第一性原理推导运动方程与级数解}
	\subsection{基本运动方程的建立}
	
	从纯粹几何学第一性原理出发，我们考虑两个质点组成的系统。设质点1相对于质点0的位置矢量为 $\mathbf{r} = (r\cos\theta, r\sin\theta)$。
	
	根据微分几何，加速度在极坐标下的分量为：
	\begin{align}
		a_r &= \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \
		a_\theta &= r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}
	\end{align}
	
	对于保守系统，运动由以下微分方程描述：
	\begin{align}
		\mu(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) &= -\frac{Gm_0m_1}{r^2} \label{eq:radial_eq} \
		\mu(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) &= 0 \label{eq:angular_eq}
	\end{align}
	
	其中 $\mu = \frac{m_0m_1}{m_0+m_1}$ 为约化质量。
	
	\subsection{角动量守恒与面积定律}
	
	由方程(\ref{eq:angular_eq})可得：
	\begin{equation}
		\frac{d}{dt}(\mu r^2\dot{\theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \mu r^2\dot{\theta} = L = \text{常数}
	\end{equation}
	
	这就是开普勒面积定律的微分形式。
	
	\subsection{径向运动方程的推导}
	
	将 $\dot{\theta} = \frac{L}{\mu r^2}$ 代入方程(\ref{eq:radial_eq})：
	\begin{equation}
		\mu\ddot{r} - \frac{L^2}{\mu r^3} = -\frac{Gm_0m_1}{r^2}
	\end{equation}
	
	令 $u = \frac{1}{r}$，则：
	\begin{align}
		\dot{r} &= -\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\dot{\theta} = -\frac{L}{\mu}\frac{du}{d\theta} \
		\ddot{r} &= -\frac{L}{\mu}\frac{d}{dt}\left(\frac{du}{d\theta}\right) = -\frac{L}{\mu}\frac{d^2u}{d\theta^2}\dot{\theta} = -\frac{L^2}{\mu^2}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}
	\end{align}
	
	代入径向方程：
	\begin{equation}
		-\frac{L^2}{\mu}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2} - \frac{L^2}{\mu}u^3 = -Gm_0m_1u^2
	\end{equation}
	
	整理得：
	\begin{equation}
		\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{\mu Gm_0m_1}{L^2} \label{eq:u_equation}
	\end{equation}
	
	\subsection{方程(\ref{eq:u_equation})的级数解}
	
	方程(\ref{eq:u_equation})是标准的简谐振动方程，其通解为：
	\begin{equation}
		u(\theta) = A\cos(\theta - \theta_0) + \frac{\mu Gm_0m_1}{L^2}
	\end{equation}
	
	其中 $A$ 和 $\theta_0$ 为积分常数。
	
	令 $e = \frac{AL^2}{\mu Gm_0m_1}$，则轨道方程为：
	\begin{equation}
		r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)} \label{eq:orbit_eq}
	\end{equation}
	其中 $p = \frac{L^2}{\mu Gm_0m_1(1-e^2)}$。
	
	\subsection{椭圆轨道的谐波分解}
	
	将方程(\ref{eq:orbit_eq})展开为傅里叶级数。设 $\theta_0 = 0$，则：
	\begin{equation}
		r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta} = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\theta}
	\end{equation}
	
	其中 $a = \frac{p}{1-e^2}$ 为半长轴。
	
	\subsubsection{径向振动的级数展开}
	
	令 $r(\theta) = a[1 - e\cos\theta + e^2\cos^2\theta - e^3\cos^3\theta + \cdots]$，但更精确的展开需要贝塞尔函数：
	
	\begin{equation}
		r(\theta) = a\left[1 + \frac{e^2}{2} + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\alpha^n\cos(n\theta)\right]
	\end{equation}
	
	其中 $\alpha = \frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}$。
	
	\subsubsection{精确的傅里叶-贝塞尔级数}
	
	通过复变函数方法，可得精确展开：
	\begin{equation}
		r(\theta) = a\left[1 + \frac{e^2}{2} + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}J_n(ne)\cos(n\theta)\right] \label{eq:fourier_bessel}
	\end{equation}
	
	其中 $J_n(x)$ 是第一类贝塞尔函数。
	
	\subsection{运动方程的级数解验证}
	
	将级数解(\ref{eq:fourier_bessel})代入原始微分方程验证。首先计算各阶导数：
	
	\begin{align}
		\frac{dr}{d\theta} &= -2a\sum_{n=1}^\infty (-1)^n J_n(ne)\sin(n\theta) \
		\frac{d^2r}{d\theta^2} &= -2a\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n J_n(ne)\cos(n\theta)
	\end{align}
	
	代入方程(\ref{eq:u_equation})，利用贝塞尔函数的性质，可验证级数解满足原方程。
	
